Una suma constante
En un cuadrado mágico, cada fila, cada columna y las dos diagonales suman el mismo valor. Tener filas iguales no basta: también hay que comprobar columnas y diagonales.
Explora los ejemplos, genera cuadrados mágicos y comprueba lo que aprendiste.
Tu recorrido: antes → explora → después
Si vas a participar en la medición, comienza antes de leer los ejemplos. Puedes explorar libremente sin responder.
UN RETO MATEMÁTICO ABIERTO
¿Se puede construir un cuadrado mágico de 3×3 con nueve números cuadrados distintos?
Y hay otro desafío: encontrar un cuadrado mágico 3×3 con siete, ocho o nueve entradas que sean cuadrados perfectos distintos, diferente del ejemplo conocido de Andrew Bremner y de sus rotaciones, reflexiones y múltiplos por k².
Una entrada es el número de una casilla. El cuadrado siempre tiene nueve casillas; el reto de Multimagie pide que al menos siete contengan cuadrados perfectos.
PLATAFORMA EDUCATIVA DE INVESTIGACIÓN DOCTORAL
Cuadrados mágicos 3×3 con TIC: exploración matemática, educativa y criptográfica
Laboratorio educativo de Guillermo Antonio Rojas Aviles, desarrollado como parte de su investigación doctoral.
Doctorado en EducaciónHonda, Tolima, ColombiaPrototipo en desarrollo
Aprende qué es un cuadrado mágico, comprueba sus sumas y explora nuevos ejemplos. Puedes comenzar sin registrarte.
¿Qué es este laboratorio?
Es un espacio para aprender sobre los cuadrados mágicos: conocer sus reglas, mirar ejemplos, comprobar sus sumas, explorar números y comparar sus propiedades. Forma parte de la investigación doctoral de Guillermo Antonio Rojas Aviles.
Puedes comenzar sin registrarte. Aquí encuentras la explicación y la práctica; en Genera cuadrados eliges un intervalo de L y observas los resultados con sus comprobaciones.
PRIMERO, UN EJEMPLO SENCILLO
¿Qué es un cuadrado mágico?
Es una tabla cuadrada de números distintos en la que todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales principales tienen la misma suma, llamada constante mágica. Un cuadrado 3×3 tiene tres filas y tres columnas: nueve casillas o entradas.
Un ejemplo básico: suma 15
Usa los números del 1 al 9, sin repetirlos. Cada fila, cada columna y las dos diagonales suman 15. Por eso su constante mágica es C = 15.
Fila: línea horizontal. Columna: línea vertical. Diagonal: línea que une dos esquinas opuestas. En un cuadrado 3×3 comprobamos tres filas, tres columnas y dos diagonales: ocho sumas en total.
Que una tabla sea mágica no significa que sus números sean cuadrados perfectos. En este ejemplo, 1 = 1², 4 = 2² y 9 = 3² sí lo son. El 8 no es un cuadrado perfecto: su raíz no es un entero. Mira abajo el detalle de los nueve números.
Cargando la comprobación del ejemplo…
Aprende los conceptos
Cuadrados perfectos
Un entero no negativo es cuadrado perfecto cuando puede escribirse como el producto de un entero por sí mismo: 1, 4, 9, 16… El laboratorio comprueba esta condición sin redondeos.
Entradas distintas
Que todos los valores sean cuadrados no garantiza que sean distintos. Son condiciones separadas, y deben comprobarse por separado.
Ejemplo y demostración
Encontrar una configuración permite comprobar ese caso. No encontrarla en un rango finito no demuestra que sea imposible en todos los enteros.
UN EJEMPLO PARA COMPARAR
El ejemplo de Andrew Bremner: siete entradas cuadradas
Este es el ejemplo conocido con siete entradas que son cuadrados perfectos, atribuido a Andrew Bremner y reproducido en su artículo On squares of squares II (2001). Aquí “entrada” significa el número de una casilla: la matriz tiene nueve entradas, de las cuales siete son cuadrados perfectos.
Esta matriz tiene nueve números distintos y sus ocho líneas suman C = 541875. Siete entradas son cuadrados perfectos y dos no lo son: 360721 y 222121. Las puedes identificar con su raíz aproximada en la tabla.
No es el mismo ejemplo básico de suma 15. Sirve como referencia para explorar qué ocurre cuando se busca que también las entradas sean cuadrados perfectos. El generador puede encontrarlo con L inicial = 425 y L final = 425, sin excluir el ejemplo conocido.
Cargando la comprobación del ejemplo…
En su artículo de 2001, páginas 289–290, Bremner lo presenta como el único ejemplo no trivial conocido con siete entradas cuadradas. Las rotaciones, reflexiones y multiplicaciones de todas las entradas por un mismo cuadrado entero k² producen versiones equivalentes; no representan una nueva solución esencial. Que sea el único conocido no demuestra que sea el único posible.
EL PROBLEMA DE LABAR
El reto de los nueve cuadrados perfectos
¿Se puede construir un cuadrado mágico de 3×3 con nueve números cuadrados distintos?
Se busca que las nueve casillas contengan cuadrados de enteros distintos y que las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales sumen la misma constante. El ejemplo de Bremner cumple las ocho sumas, pero no resuelve este problema: todavía tiene dos entradas que no son cuadrados perfectos.
El artículo de Nick Rome y Shuntaro Yamagishi (2025) sitúa la formulación de LaBar en 1984 y recoge un antecedente de Édouard Lucas en 1876. Ese trabajo demuestra la existencia para tamaños de 4×4 en adelante; el caso 3×3 permanece abierto en la fuente consultada.
El laboratorio permite explorar ejemplos y comprobarlos. No hallar una solución entre L = 1 y L = 500 no demuestra que sea imposible en todos los enteros.
ENIGMAS Y PREMIOS ANUNCIADOS
Un problema abierto que sigue motivando búsquedas
Multimagie, el sitio de Christian Boyer, reúne los enigmas, ejemplos y premios relacionados con los cuadrados mágicos. Puedes consultar allí el problema de los cuadrados de cuadrados y las condiciones de cada reto.
| Oferta | Reto | Fuente y condiciones |
|---|---|---|
| US$10.000 Matt Parker · anuncio de 2025 | Encontrar un cuadrado mágico 3×3 con nueve cuadrados perfectos distintos. El anuncio no incluye una prueba de imposibilidad. | Ver el anuncio en Numberphile |
| 1.000 € y una botella de champaña Christian Boyer · Multimagie | Encontrar un ejemplo nuevo con siete, ocho o nueve entradas cuadradas, distinto del ejemplo conocido y de sus versiones equivalentes. | Problema y premios en Multimagie Consultar los enigmas y sus reglas |
| US$100 Martin Gardner · antecedente de 1996 | Premio histórico relacionado con el problema de los nueve cuadrados perfectos distintos. | Antecedente recogido en la investigación de 2025 |
Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers?
Explorar la investigación y los ejemplos en Multimagie
Información revisada el 1 de noviembre de 2026. Se distinguen los anuncios de premios de sus antecedentes históricos. La disponibilidad, los requisitos y la adjudicación dependen de los organizadores: consulta los enlaces originales para conocer las condiciones vigentes.
PASO 1 · ANTES DE EXPLORAR
¿Qué sabes sobre cuadrados mágicos?
Comienza con lo que sabes hoy. Después explora los ejemplos y el generador; al terminar encontrarás una prueba final en su propia sección.
Cargando tu punto de partida…
PASO 3 · PRUEBA FINAL
Comprueba lo aprendido
Después de explorar, responde seis preguntas sobre los ejemplos y conceptos del laboratorio. La prueba final se habilita después de completar la prueba inicial. Ambos resultados quedarán vinculados para comparar tus conocimientos.
EXPERIENCIA DE USO
Tu experiencia también cuenta.
Tres preguntas rápidas sobre tu visita, al terminar el recorrido.
EXPLORA CON UN SOLO VALOR
Genera y compara cuadrados mágicos.
Elige L inicial y L final, pulsa Generar y revisa aquí los ejemplos encontrados. La configuración de búsqueda está preparada dentro del laboratorio.
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